Ответы Олимпиады по по Математике 7, 8, 9, 10, 11 класс 18.10.2024 (3 группа)

Содержание
  1. 7 класс
  2. Задание 1. Костя начал выписывать в порядке возрастания все числа, для которых одновременно выполняются следующие условия: состоят только из цифр 5 и 8; имеют столько же пятёрок, сколько восьмёрок; делятся на 3.
  3. Задание 1.2: Виталик…из цифр 2 и 5…
  4. Задание 1.3: Андрей…из цифр 1 и 4…
  5. Задание 1.4: Лена…из цифр 1 и 7…
  6. Задание 2. Дима отправился гулять по квадрату 200×200, от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей снизу строки, поворачивает налево, доходит до четвёртого справа столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8×8, и он состоит из 16 клеток.
  7. Задание 3. Имеется 9 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 9 разных чисел.
  8. Задание 4. В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее арифметическое количества съеденных за неделю конфет четырёх оставшихся девочек будет равно 59. Аналогично без Беллы это число будет равно 53, без Веры 57, без Гали 56, без Даши 45.
  9. Задание 5. Из четырёх одинаковых кирпичей сложили конструкцию, как показано на рисунке. Известно, что суммарная площадь поверхности этой конструкции (сверху, снизу, со всех боков) равна 816 см2.
  10. Задание 6. Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 73 до 89. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал.
  11. Задание 7. На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/4 всего торта, второй 1/5 оставшегося, третий 1/6 оставшегося и так далее. Наконец 3-й богатырь съел 1/36 оставшегося куска, и то, что осталось, съел Черномор.
  12. Задание 8. Муми‑мама испекла три одинаковые пиццы в виде правильного шестиугольника и сложила их рядом, как показано на рисунке.
  13. 8 класс
  14. Задание 1. Попарно различные числа x, y и z таковы, что xy−2z=xz−2y. Найдите x.
  15. Задание 2. Лена сделала шарнирный подвижный четырёхугольник KLMN с длинами сторон KL=75, LM=76, MN=79 и KN=77.
  16. Задание 2.2: Андрей…АВ=105, ВС=107…
  17. Задание 2.3: Костя…АВ=90, ВС=95…
  18. Задание 3. На рисунке изображена фигура, состоящая из 369 единичных клеток.
  19. Задание 3.2: …234 единичных клеток
  20. Задание 3.3: …654 единичных клеток
  21. Задание 3.4: …304 единичных клеток
  22. Задание 4. Число 328_16 делится на каждую из своих цифр. Восстановите пропущенную цифру.
  23. Задание 5. На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки K и L соответственно. Оказалось, что AK=2KL, ∠AKL=90, AL=10.
  24. Задание 6. В двух кабинетах было по 30 учеников, причём в каждом из них по 15 мальчиков и 15 девочек. После того как десять учеников перебежали из второго кабинета в первый, оказалось, что 40 % учеников в первом кабинете мальчики.
  25. Задание 7. Сто рыцарей, сто лжецов и сто болванов сидят за круглым столом в каком-то порядке. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а болваны всегда повторяют последнюю услышанную фразу. Каждый сказал одну из фраз: «Мой сосед справа рыцарь», «Мой сосед справа лжец» или «Мой сосед справа болван», причём каждую следующую фразу говорил сидящий справа от того, кто сказал предыдущую фразу.
  26. Задание 8. Даны a𝑎, b>0. Точки пересечения прямых y=ax+a, y=ax+b, y=bx+a и y=bx+b образуют четырёхугольник. Точка пересечения диагоналей этого четырёхугольника имеет ординату, равную 30.
  27. 9 класс
  28. Задание 1. На координатной плоскости OXY отметили все точки (x , y), координаты которых удовлетворяют уравнению x2+4xy+4y2=0 .
  29. Задание 1.2: …x2+5x+y2=0
  30. Задание 1.3: …x2+2xy=0
  31. Задание 2. В треугольник со сторонами 6, 7 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
  32. Задание 3. У Пети есть по одной карточке с цифрами 9, 7, 4, 0, 1 Он составил из них пятизначное число. Вася составил из них другое пятизначное число, вычел из большего меньшее и записал результат на доске. Получилось четырёхзначное число, состоящее из различных цифр, отличных от изначальных.
  33. Задание 4. Родители с сыном отправились по тропе к озеру. Сын сразу пошёл вперед, а дойдя до озера, повернул назад и шёл, пока не встретил идущих медленнее родителей. Длина его пути до озера оказалась равна 500 шагам, а назад до родителей 400 шагам. Общее потраченное сыном время до встречи с родителями т.
  34. Задание 4.2: …равна 400 шагам, а назад до родителей 300 шагам…, с родителями 15 мин..
  35. Задание 4.3: …равна 800 шагам, а назад до родителей 600 шагам…, с родителями 20 мин..
  36. Задание 4.4: …равна 300 шагам, а назад до родителей 250 шагам…, с родителями 10 мин..
  37. Задание 5. Натуральные корни x1 и x2 многочлена x2−bx+cтаковы, что произведение bcx1x 2 равно 11700.
  38. Задание 6. В треугольнике ABC отрезки BD и BE делят угол ∠ABC на три равные части. Отрезки CF и CG делят угол ∠ACB на три равные части. Отрезки BD и CF пересекаются в точке M, а отрезки BE и CG пересекаются в точке N. Известно, что ∠BMC=107∘, ∠BNC=109∘.
  39. Задание 7. В кругу сидели 24 болельщика команд «Шайба» и «Зубило». Каждый болел ровно за одну из этих двух команд. Каждый болельщик сказал своему соседу слева одну из двух фраз: или «ты болеешь за ту же команду, что и мой сосед справа», или «вы с моим соседом справа болеете за разные команды». Оказалось, что ровно половина болельщиков сказала первую фразу и ровно половина вторую. При этом каждый говорил правду, если обращался к своему единомышленнику (болеющему за ту же команду), и лгал, если обращался к фанату другой команды.
  40. Задание 8. В океане кораллы часто сливаются в единый организм для лучшего выживания. При слиянии двух кораллов с M и N щупальцами вместо них образуется один коралл с (M+N−1 ) щупальцами. Вначале имеется 100 кораллов с тремя щупальцами, 101 коралл с четырьмя щупальцами и 102 коралла с пятью щупальцами. После нескольких слияний остался один коралл.
  41. 10 класс
  42. Задание 1. Запишите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в десятичной записи которого присутствуют только цифры 7 и 0.
  43. Задание 1.2: …только цифры 2 и 0
  44. Задание 1.3: …только цифры 5 и 0
  45. Задание 1.4: …только цифры 1 и 0
  46. Задание 2. Имеется бумажный прямоугольник. Если его разрезать восемью параллельными разрезами на 9 одинаковых маленьких прямоугольников, то периметр каждого маленького прямоугольника будет в 3 раза меньше, чем периметр исходного прямоугольника.
  47. Задание 2.2: …на 11 одинаковых…будет в 3 раза меньше
  48. Задание 2.3: …на 10 одинаковых…будет в 4 раза меньше
  49. Задание 2.4: …на 13 одинаковых…будет в 5 раза меньше
  50. Задание 3. На одном чертеже изображены графики четырёх функций вида y=x2+2bx+2c.
  51. Задание 4. Сколько существует таких троек натуральных чисел (A, B, N), что A+B=38, а B больше A ровно на N процентов?
  52. Задание 5. За круглым столом собрались 17 человек, каждый из них либо лжец, который всегда врёт, либо рыцарь, который всегда говорит правду. Каждый из сидящих за столом сделал заявление:«Среди четырёх ближайших ко мне в круге людей (2 соседа справа и 2 соседа слева) есть хотя бы один лжец!»
  53. Задание 6. Имеется восемь одинаковых игральных кубиков, на гранях которых написаны натуральные числа от 1 до 6. Кубики таковы, что на любой паре противоположных граней написаны числа, отличающиеся на 1. Из этих восьми кубиков собрали куб размером 2×2×2 так, что сумма чисел на любых двух прислонённых друг к другу гранях оказалась равна 7. При этом сумма чисел на верхней грани этого большого куба равна 11.
  54. Задание 7. Дан треугольник ABC с углом B, равным 60∘. В точках A и C провели две касательные к описанной окружности ABC, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к BC, восстановленный в точке C, пересекает прямую AB в точке Q.
  55. Задание 8. Назовём натуральное число интересным, если в его двоичной записи не более 2 единиц. Например, числа 4=1002 и 40=1010002 интересные, а число 14=11102 интересным не является.
  56. 11 класс
  57. Задание 1. Известно, что сумма квадратов корней трёхчлена x2+3ax+3b равна сумме квадратов корней трёхчлена x2+3bx+3a.
  58. Задание 1.2: …x2+7ax+7b
  59. Задание 1.3: …x2+2ax+2b
  60. Задание 1.4: …x2+5ax+5b
  61. Задание 2. Известно, что F(F(x))=9x−4F. Какой может быть функция F(x)?F(x)=9×2−4F(x)=3√x−2F(x)=3x+1F(x)=3x−2F(x)=3x−1F(x)=(9x−4)2
  62. Задание 3. Назовём простое число разложимым, если его можно представить в виде суммы 9 составных чисел (не обязательно различных).
  63. Задание 4. Бумажный прямоугольник ABCD со сторонами AB=10 и BC=24 согнули по прямой так, что вершина D попала в вершину B.
  64. Задание 4.2: …AB=6 и BC=8
  65. Задание 4.3: …AB=3 и BC=4
  66. Задание 4.4: …AB=5 и BC=12
  67. Задание 5. Ровно в полдень муравей выбегает из муравейника и по прямой тропинке бежит к полю. Через минуту вслед за ним выбегает второй муравей и бежит вслед за первым, но со скоростью на 1 см/мин большей, чем скорость первого. И так далее: каждую минуту из муравейника выбегает следующий муравей и бежит вдогонку за остальными со скоростью на 1 см/мин большей, чем скорость предыдущего.
  68. Задание 6. На плоскости проведено 11 прямых. Известно, что если выбрать из этих прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные.
  69. Задание 7. Коля придумал функцию f(x)=(x−100)(2x−200)(4x−400)−(ax3+bx2+cx+d)При некоторых фиксированных значениях параметров (a, b, c, d) функция f(x) такова, что:
  70. Задание 8. Известно, что количество способов вырезать по линиям сетки из клетчатого квадрата N×N квадрат 2×2 в 6 раз меньше, чем количество способов вырезать из этого же квадрата фигуру Г-тетрамино (см. рисунок).Найдите сторону N такого квадрата. Фигуру можно поворачивать и переворачивать.

7 класс

Задание 1. Костя начал выписывать в порядке возрастания все числа, для которых одновременно выполняются следующие условия: состоят только из цифр 5 и 8; имеют столько же пятёрок, сколько восьмёрок; делятся на 3.

Какое число у Кости стоит на втором месте?

Ответ: 558588

Задание 1.2: Виталик…из цифр 2 и 5…

Ответ: 225255

Задание 1.3: Андрей…из цифр 1 и 4…

Ответ: 114144

Задание 1.4: Лена…из цифр 1 и 7…

Ответ: 

Задание 2. Дима отправился гулять по квадрату 200×200, от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей снизу строки, поворачивает налево, доходит до четвёртого справа столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8×8, и он состоит из 16 клеток.


Определите длину пути для доски 200×200.

Ответ: 10000

Задание 3. Имеется 9 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 9 разных чисел.

Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?

Ответ: 54

Задание 4. В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее арифметическое количества съеденных за неделю конфет четырёх оставшихся девочек будет равно 59. Аналогично без Беллы это число будет равно 53, без Веры 57, без Гали 56, без Даши 45.

Как зовут девочку, которая съела больше всего конфет за эту неделю? АняБеллаВераГаляДашаСколько конфет она съела?

Ответ: Даша, 90

Задание 5. Из четырёх одинаковых кирпичей сложили конструкцию, как показано на рисунке. Известно, что суммарная площадь поверхности этой конструкции (сверху, снизу, со всех боков) равна 816 см2.

Найдите площадь поверхности одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.


Определите длину пути для доски 200×200.

Ответ: 

Задание 6. Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 73 до 89. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал.

Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Ответ: 

Задание 7. На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/4 всего торта, второй 1/5 оставшегося, третий 1/6 оставшегося и так далее. Наконец 3-й богатырь съел 1/36 оставшегося куска, и то, что осталось, съел Черномор.

Кто съел больше: первый богатырь или Черномор? Во сколько раз? Если богатырь и Черномор съели поровну, в ответ запишите 1

Ответ: 

Задание 8. Муми‑мама испекла три одинаковые пиццы в виде правильного шестиугольника и сложила их рядом, как показано на рисунке.


Муми‑тролль сделал два прямых разреза, как на рисунке, и взял себе кусочек, отмеченный красным.


Какую часть одной пиццы взял себе Муми‑тролль?

Ответ: 

8 класс

Задание 1. Попарно различные числа x, y и z таковы, что xy−2z=xz−2y. Найдите x.

Ответ: – 2

Задание 2. Лена сделала шарнирный подвижный четырёхугольник KLMN с длинами сторон KL=75, LM=76, MN=79 и KN=77.

Какой из углов этого четырёхугольника может быть больше 180 градусов? Выберите все возможные варианты:KL MN Ни один из перечисленных

Ответ: KL

Задание 2.2: Андрей…АВ=105, ВС=107…

Ответ: АВ

Задание 2.3: Костя…АВ=90, ВС=95…

Ответ: Ни один из перечисленных

Задание 3. На рисунке изображена фигура, состоящая из 369 единичных клеток.


Найдите длину отрезка AB.

Ответ: 149

Задание 3.2: …234 единичных клеток

Ответ: 95

Задание 3.3: …654 единичных клеток

Ответ: 263

Задание 3.4: …304 единичных клеток

Ответ: 123

Задание 4. Число 328_16 делится на каждую из своих цифр. Восстановите пропущенную цифру.

Ответ: 4

Задание 5. На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки K и L соответственно. Оказалось, что AK=2KL, ∠AKL=90, AL=10.

Найдите сторону квадрата.

Ответ: 

Задание 6. В двух кабинетах было по 30 учеников, причём в каждом из них по 15 мальчиков и 15 девочек. После того как десять учеников перебежали из второго кабинета в первый, оказалось, что 40 % учеников в первом кабинете мальчики.

А сколько процентов детей во втором кабинете являются мальчиками?

Ответ: 

Задание 7. Сто рыцарей, сто лжецов и сто болванов сидят за круглым столом в каком-то порядке. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а болваны всегда повторяют последнюю услышанную фразу. Каждый сказал одну из фраз: «Мой сосед справа рыцарь», «Мой сосед справа лжец» или «Мой сосед справа болван», причём каждую следующую фразу говорил сидящий справа от того, кто сказал предыдущую фразу.

Какое наибольшее количество фраз «Мой сосед справа рыцарь» могло быть произнесено?

Ответ: 

Задание 8. Даны a𝑎, b>0. Точки пересечения прямых y=ax+a, y=ax+b, y=bx+a и y=bx+b образуют четырёхугольник. Точка пересечения диагоналей этого четырёхугольника имеет ординату, равную 30.

Найдите максимальную из ординат вершин этого четырёхугольника.

Ответ: 

9 класс

Задание 1. На координатной плоскости OXY отметили все точки (x , y), координаты которых удовлетворяют уравнению x2+4xy+4y2=0 .

Что за множество получилось? Две параллельные прямые Одна точка Окружность Две пересекающиеся прямые Пустое множество Прямая Парабола

Ответ: Две пересекающиеся прямые

Задание 1.2: …x2+5x+y2=0

Ответ: Окружность

Задание 1.3: …x2+2xy=0

Ответ: Прямая

Задание 2. В треугольник со сторонами 6, 7 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Ответ: 2,5

Задание 3. У Пети есть по одной карточке с цифрами 9, 7, 4, 0, 1 Он составил из них пятизначное число. Вася составил из них другое пятизначное число, вычел из большего меньшее и записал результат на доске. Получилось четырёхзначное число, состоящее из различных цифр, отличных от изначальных.

Какая цифра осталась не задействована? Числа не могут начинаться с 0

Ответ: 6

Задание 4. Родители с сыном отправились по тропе к озеру. Сын сразу пошёл вперед, а дойдя до озера, повернул назад и шёл, пока не встретил идущих медленнее родителей. Длина его пути до озера оказалась равна 500 шагам, а назад до родителей 400 шагам. Общее потраченное сыном время до встречи с родителями т.

Через сколько минут после встречи с возвращающимся сыном родители дойдут до озера? Считаем, что шаги имеют равную длину, скорости сына и родителей постоянны.

Ответ: 60

Задание 4.2: …равна 400 шагам, а назад до родителей 300 шагам…, с родителями 15 мин..

Ответ: 45

Задание 4.3: …равна 800 шагам, а назад до родителей 600 шагам…, с родителями 20 мин..

Ответ: 60

Задание 4.4: …равна 300 шагам, а назад до родителей 250 шагам…, с родителями 10 мин..

Ответ: 50

Задание 5. Натуральные корни x1 и x2 многочлена x2−bx+cтаковы, что произведение bcx1x 2 равно 11700.

Найдите наибольшее возможное значение c.

Ответ: 

Задание 6. В треугольнике ABC отрезки BD и BE делят угол ∠ABC на три равные части. Отрезки CF и CG делят угол ∠ACB на три равные части. Отрезки BD и CF пересекаются в точке M, а отрезки BE и CG пересекаются в точке N. Известно, что ∠BMC=107∘, ∠BNC=109∘.

Найдите углы треугольника ABC. ∠ABC=∠BAC


Ответ: 

Задание 7. В кругу сидели 24 болельщика команд «Шайба» и «Зубило». Каждый болел ровно за одну из этих двух команд. Каждый болельщик сказал своему соседу слева одну из двух фраз: или «ты болеешь за ту же команду, что и мой сосед справа», или «вы с моим соседом справа болеете за разные команды». Оказалось, что ровно половина болельщиков сказала первую фразу и ровно половина вторую. При этом каждый говорил правду, если обращался к своему единомышленнику (болеющему за ту же команду), и лгал, если обращался к фанату другой команды.

Какое максимальное количество болельщиков «Шайбы» могло быть?

Ответ: 

Задание 8. В океане кораллы часто сливаются в единый организм для лучшего выживания. При слиянии двух кораллов с M и N щупальцами вместо них образуется один коралл с (M+N−1 ) щупальцами. Вначале имеется 100 кораллов с тремя щупальцами, 101 коралл с четырьмя щупальцами и 102 коралла с пятью щупальцами. После нескольких слияний остался один коралл.

Какое наибольшее количество щупалец у него может быть?

Ответ: 

10 класс

Задание 1. Запишите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в десятичной записи которого присутствуют только цифры 7 и 0.

Ответ: 77777777700

Задание 1.2: …только цифры 2 и 0

Ответ: 2222222220

Задание 1.3: …только цифры 5 и 0

Ответ: 55555555500

Задание 1.4: …только цифры 1 и 0

Ответ: 11111111100

Задание 2. Имеется бумажный прямоугольник. Если его разрезать восемью параллельными разрезами на 9 одинаковых маленьких прямоугольников, то периметр каждого маленького прямоугольника будет в 3 раза меньше, чем периметр исходного прямоугольника.

Найдите отношение большей стороны к меньшей стороне исходного прямоугольника.

Ответ: 3

Задание 2.2: …на 11 одинаковых…будет в 3 раза меньше

Ответ: 2,75

Задание 2.3: …на 10 одинаковых…будет в 4 раза меньше

Ответ: 5

Задание 2.4: …на 13 одинаковых…будет в 5 раза меньше

Ответ: 6,5

Задание 3. На одном чертеже изображены графики четырёх функций вида y=x2+2bx+2c.

Сколько точек пересечения этих графиков может быть? Выберите все возможные варианты:

Ответ: 0, 3, 4, 5, 6

Задание 4. Сколько существует таких троек натуральных чисел (A, B, N), что A+B=38, а B больше A ровно на N процентов?

Ответ: 6

Задание 5. За круглым столом собрались 17 человек, каждый из них либо лжец, который всегда врёт, либо рыцарь, который всегда говорит правду. Каждый из сидящих за столом сделал заявление:«Среди четырёх ближайших ко мне в круге людей (2 соседа справа и 2 соседа слева) есть хотя бы один лжец!»

Сколько лжецов могло быть в круге? Укажите все возможные варианты, записывая каждый в отдельное поле.

Ответ: 

Задание 6. Имеется восемь одинаковых игральных кубиков, на гранях которых написаны натуральные числа от 1 до 6. Кубики таковы, что на любой паре противоположных граней написаны числа, отличающиеся на 1. Из этих восьми кубиков собрали куб размером 2×2×2 так, что сумма чисел на любых двух прислонённых друг к другу гранях оказалась равна 7. При этом сумма чисел на верхней грани этого большого куба равна 11.

Найдите сумму чисел на нижней его грани.

Ответ: 

Задание 7. Дан треугольник ABC с углом B, равным 60∘. В точках A и C провели две касательные к описанной окружности ABC, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к BC, восстановленный в точке C, пересекает прямую AB в точке Q.

Найдите ∠CQP, если ∠BAC=40∘.

Ответ: 

Задание 8. Назовём натуральное число интересным, если в его двоичной записи не более 2 единиц. Например, числа 4=1002 и 40=1010002 интересные, а число 14=11102 интересным не является.

Сколько существует интересных чисел, меньших 8000?

Ответ: 

11 класс

Задание 1. Известно, что сумма квадратов корней трёхчлена x2+3ax+3b равна сумме квадратов корней трёхчлена x2+3bx+3a.

Чему равно a+b, если a≠b?

Ответ: – 1,5

Задание 1.2: …x2+7ax+7b

Ответ: – 2/7

Задание 1.3: …x2+2ax+2b

Ответ: – 1

Задание 1.4: …x2+5ax+5b

Ответ: – 2,5

Задание 2. Известно, что F(F(x))=9x−4F. Какой может быть функция F(x)?F(x)=9×2−4F(x)=3√x−2F(x)=3x+1F(x)=3x−2F(x)=3x−1F(x)=(9x−4)2

Ответ: F(x)=3x−1

Задание 3. Назовём простое число разложимым, если его можно представить в виде суммы 9 составных чисел (не обязательно различных).

Найдите наибольшее простое число, которое не является разложимым.

Ответ: 37

Задание 4. Бумажный прямоугольник ABCD со сторонами AB=10 и BC=24 согнули по прямой так, что вершина D попала в вершину B.

Найдите длину линии сгиба.

Ответ: 5

Задание 4.2: …AB=6 и BC=8

Ответ: 2,75

Задание 4.3: …AB=3 и BC=4

Ответ: 3

Задание 4.4: …AB=5 и BC=12

Ответ: 6,5

Задание 5. Ровно в полдень муравей выбегает из муравейника и по прямой тропинке бежит к полю. Через минуту вслед за ним выбегает второй муравей и бежит вслед за первым, но со скоростью на 1 см/мин большей, чем скорость первого. И так далее: каждую минуту из муравейника выбегает следующий муравей и бежит вдогонку за остальными со скоростью на 1 см/мин большей, чем скорость предыдущего.

Какой по счёту муравей будет возглавлять процессию через 2 часа, если скорость первого муравья равна 70 см/мин? Если муравьёв будет несколько, укажите их всех.

Ответ: 

Задание 6. На плоскости проведено 11 прямых. Известно, что если выбрать из этих прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные.

Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь между собой все проведённые прямые?

Ответ: 27

Задание 7. Коля придумал функцию f(x)=(x−100)(2x−200)(4x−400)−(ax3+bx2+cx+d)При некоторых фиксированных значениях параметров (a, b, c, d) функция f(x) такова, что:


Найдите значение параметра aa.

Ответ: 

Задание 8. Известно, что количество способов вырезать по линиям сетки из клетчатого квадрата N×N квадрат 2×2 в 6 раз меньше, чем количество способов вырезать из этого же квадрата фигуру Г-тетрамино (см. рисунок).Найдите сторону N такого квадрата. Фигуру можно поворачивать и переворачивать.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все ответы
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: